Materi Program linear, Model Matematika dan Contoh Soalnya

Hallo... kali ini kita akan membahas tentang program linear nih. Udah pada tau belum apa itu program linear? Di sini akan di bahas tentang pengertian program linear, model matematika pada program linear, dan contoh soalnya tentu saja lengkap dengan pembahasan. Tanpa basa basi yuk langsung disimak materi dibawah ini...

Apa itu Program Linear ?

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Bagaimana Membuat Model Matematika Program Linear ?

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Perhatikan tahap membuat model matematika pada contoh soal cerita dibawah ini !!!

Produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :

1. Menggunakan garis selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

    2. Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Soal 1.

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

Langkah 1 : menggambar grafiknya :

Langkah 2 : menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

Langkah 3 : menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18.

Soal 2.

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2 :

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

B(3, 6) --> f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42

C(8, 2) --> f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42

D(8, 0) --> f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Soal 3. 

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 5x + 2y \le 1.250
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• B(xB, y_B) dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:
  

Sehingga jumlah masimum:

Apel: 150 kg

Pisang: 250 kg

Nah itu saja pembahasan kali ini, semoga bisa membantu teman-teman semua dalam memahami materi program linear. Sampai jumpa di materi dan pembahasan selanjutnya...

Kata kunci :

contoh soal program linear kelas 11,

contoh soal program linear kelas 10,

contoh soal program linear metode grafik,

contoh soal program linear metode simpleks,

contoh soal program linear dua variabel,

contoh soal program linear model matematika,

contoh soal program linear kelas 11 soal cerita,

contoh soal program linear metode grafik 3 variabel,

contoh soal program linear dan pembahasannya,

contoh soal program linear dalam kehidupan sehari hari,

contoh soal program linear soal cerita,

contoh soal cerita program linear kelas 11,

contoh soal cerita program linear metode grafik,

contoh soal cerita nilai maksimum dan minimum program linear,

contoh soal penerapan program linear dalam pemecahan masalah,

contoh soal dualitas program linear,

contoh soal dan pembahasan program linear,

contoh soal dan pembahasan program linear kelas 11,

contoh soal primal dual program linear,

contoh soal program linear kelas 11 model matematika,

contoh soal program linear metode simpleks minimum,

contoh soal nilai maksimum dan minimum program linear,

contoh soal penerapan program linear dalam kehidupan sehari-hari,

contoh soal penerapan program linear,

contoh soal pertidaksamaan program linear,

contoh soal program linear riset operasi,

contoh soal tentang program linear

Share this post